Posmatrajmo brojeve sa $n$ cifara. Primetimo da je suma kvadrata njegovih cifara najviše $n \cdot 9^2$, ukoliko broj ima sve devetke, a vrednost, bar $10^{n-1}$, što je najmanji broj sa $n$ cifara. Primetimo da nejednakost $n \cdot 9^2 < 10^{n-1}$ važi za sve $n \geq 4$, tj. da su svi brojevi sa bar četiri cifre pravilni. To tvrdjenje možemo pokazati matematičkom indukcijom po $n$:

Baza indukcije: $n = 4$

Primetimo da je suma kvadrata cifara broja sa $4$ cifre najviše $4 \cdot 9^2 = 324$, a da je najmanji broj sa $4$ cifre $1000$, pa je svaki broj sa četiri cifre pravilan.

Korak indukcije: $n \implies n+1$

Po induktivnoj pretpostavci, važi:

$n \cdot 9^2 < 10^{(n-1)}$.

Treba da pokažemo da važi:

$(n+1) \cdot 9^2 < 10^n$

Primetimo:

$10^n = 10 \cdot 10^{(n-1)} > 10 \cdot n \cdot 9^2$.

Primetimo da je: $10 \cdot n \cdot 9^2 > (n+1) \cdot 9^2$, jer $10 \cdot n \cdot 9^2 > (n+1) \cdot 9^2 \iff 10 \cdot n > (n+1) \iff 9 \cdot n > 1$, što je tačno za sve pozitivne cele brojeve $n$.

Dakle:

$(n+1) \cdot 9^2 < 10 \cdot n \cdot 9^2 < 10 \cdot 10^{(n-1)} = 10^n$

Čime je induktivna pretpostavka dokazana i dokaz indukcijom gotov.

Analiza složenosti:

Dakle, pokazali smo da su svi brojevi sa bar četiri cifre pravilni. Dovoljno je da za svaki upit $L$ $R$ prođemo kroz najmanjih $1000$ brojeva u upitu i proverimo koji od njih su pravilni, a za ostale znamo da su sigurno pravilni jer su veći od $L + 1000 > 1000$. Tada postižemo rešenje u složenosti O(Q) (uz nezanemarljivu konstantu). Takođe je moguće preračunati sve pravilne brojeve do $1000$ i zapamtiti ih u nekom nizu prefiksnih suma.